Lineare Funktionen
Gegeben ist \(f(x)=k\cdot x\). Verändere die Steigung k mit dem Schieberegler. Die Gerade geht dabei immer durch den Ursprung.
Im Koordinatensystem werden außerdem \(\Delta x\) und \(\Delta y\) als Steigungsdreieck angezeigt.
Merke: \(k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(\Delta x\) (Delta x) ... Änderung in x-Richtung (waagrecht)
\(\Delta y\) (Delta y) ... Änderung in y-Richtung (senkrecht)
Beobachtung
- Ist \(\mathbf{k}>0\), steigt die Gerade an.
- Ist \(\mathbf{k}<0\), fällt die Gerade ab.
- Ist \(\mathbf{k}=0\), ist die Gerade waagrecht (konstant).
Steigung an beliebigen Punkten
Verschiebe das Steigungsdreieck entlang der Geraden \(f(x)=0{,}5\cdot x\).
Du siehst: Obwohl sich die beiden Änderungen im Dreieck verändern, bleibt der Quotient \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\) gleich.
Hier gilt immer \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{1}{2}=0{,}5\).
Beobachtung
- Wenn \(\Delta x\) größer wird, wird auch \(\Delta y\) größer, aber der Quotient \(\tfrac{\color{#0b3a91}{\Delta y}}{\color{#b45309}{\Delta x}}\) bleibt gleich.
- Verschiebst du den Punkt entlang der Geraden, bleibt die Steigung gleich.
- Verdoppelst du \(\Delta x\), dann verdoppelt sich auch \(\Delta y\) (bei gleicher Steigung).
- \(\Delta x\) darf nicht 0 sein, da eine Division durch 0 nicht definiert ist.
Steigung ablesen
Lies die Steigung \(k\) zwischen den zwei markierten Punkten ab. Die Funktion hat die Form \(f(x) = \boldsymbol{k} \cdot x\).
Aufgabe 1
Lies Δx und Δy zwischen den markierten Punkten ab.
Aufgabe 2
Achtung: Steigt oder fällt die Gerade?
Aufgabe 3
Wähle Δx so, dass Δy ganzzahlig wird.
Aufgabe 4
Die Gerade fällt steil ab – lies die Steigung ab.
Aufgabe 5
Die Gerade steigt flach – wie viele Kästchen nach oben pro Kästchen nach rechts?
Quiz: Lineare Funktionen
Beantworte alle 5 Fragen und überprüfe dein Wissen.
1. Was beschreibt die Steigung \(k\) einer linearen Funktion?
Die Steigung beschreibt, wie steil eine Gerade ist – also das Verhältnis der Änderungen.
2. Eine Gerade hat die Gleichung \(f(x) = 3x\). Was passiert, wenn \(x\) um 2 zunimmt?
Wenn Δx von 1 auf 2 wächst, verdoppelt sich auch Δy – von 3 auf 6.
3. Welche Steigung hat eine waagrechte Gerade?
Bei einer waagrechten Geraden ist Δy = 0 für jedes Δx.
4. Eine Gerade fällt von links nach rechts. Was gilt für ihre Steigung?
Wenn x zunimmt und y abnimmt, ist Δy negativ → k = Δy/Δx < 0.
5. Welche dieser Funktionen hat die steilste Gerade?
Die Steilheit hängt vom Betrag |k| ab – nicht vom Vorzeichen.