Quadrat & Rechteck
Das Rechteck ist die Basis aller Flächenberechnungen. Seine Fläche entsteht aus der Breite \(a\) mal der Höhe \(b\).
Merke: \(A = a \cdot b\)
\(a\) ... Breite (Grundseite)
\(b\) ... Höhe
Beobachtung
- Sind beide Seiten gleich lang (\(a = b\)), wird das Rechteck zum Quadrat. Die Formel vereinfacht sich zu \(A = a^2\).
- Die Reihenfolge spielt bei der Multiplikation keine Rolle: \(a \cdot b = b \cdot a\).
Parallelogramm
Das Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten. Seine Fläche berechnet sich aus der Grundseite \(a\) und der senkrechten Höhe \(h_a\).
Merke: \(A = a \cdot h_a\)
\(a\) ... Grundseite
\(h_a\) ... senkrechte Höhe zur Seite a
Beobachtung
- Beim Scheren ändert sich die Form, aber nicht die Fläche, solange \(a\) und \(h_a\) gleich bleiben.
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit 90°-Winkeln. Eine Raute ist eines mit vier gleich langen Seiten.
Raute
Die Raute hat vier gleich lange Seiten. Ihre Fläche berechnet man meist mit den beiden Diagonalen \(e\) und \(f\).
Da sich die Diagonalen senkrecht halbieren, bilden sie vier Dreiecke. Diese füllen exakt die Hälfte des umgebenden Rechtecks.
Merke: \(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)
\(e\) ... eine Diagonale
\(f\) ... die andere Diagonale
Beobachtung
- Verändere \(e\) und \(f\): Die Raute ist immer genau halb so groß wie das Rechteck drumherum.
- Ein Quadrat ist eine besondere Raute mit gleich langen Diagonalen (\(e = f\)). Seine Fläche ist daher auch \(A = \tfrac{e^2}{2}\).
Trapez
Beim Trapez sind genau zwei Seiten parallel: die untere Grundseite \(a\) und die obere Seite \(c\). Die senkrechte Höhe zwischen ihnen heißt \(h\).
Merke: \(A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h\)
\(a\) ... untere Grundseite
\(c\) ... obere Grundseite (parallel zu a)
\(h\) ... senkrechte Höhe
Beobachtung
- Je ähnlicher \(a\) und \(c\) sind, desto mehr ähnelt das Trapez einem Rechteck.
- Ist \(c = 0\), wird das Trapez zum Dreieck: \(A = \tfrac{a}{2} \cdot h\).
- Ist \(c = a\), wird das Trapez zum Rechteck: \(A = a \cdot h\).
Deltoid
Auch beim Deltoid (Drachenviereck) stehen die Diagonalen \(e\) und \(f\) senkrecht aufeinander. Daher ist die Fläche auch hier genau die Hälfte des umgebenden Rechtecks.
Merke: \(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)
\(e\) ... eine Diagonale
\(f\) ... die andere Diagonale
Beobachtung
- Egal wie stark du die Diagonale \(f\) nach oben oder unten verschiebst: Das Deltoid füllt immer genau die Hälfte des Rechtecks aus.
- Halbieren sich beide Diagonalen exakt in der Mitte, wird das Deltoid zur Raute.
Zusammenfassung
Alle Flächenformeln für Vierecke auf einen Blick.
Rechteck
\(A = a \cdot b\)
Die Grundform aller Flächenberechnungen.
Quadrat
\(A = a^2\)
Sonderfall des Rechtecks, bei dem alle Seiten gleich lang sind (\(a = b\)).
Parallelogramm
\(A = a \cdot h_a\)
Grundseite mal senkrechte Höhe.
Trapez
\(A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h\)
Mittlere Breite mal senkrechte Höhe.
Raute
\(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)
Halbes Produkt der Diagonalen (e ⊥ f).
Deltoid
\(A = \dfrac{e \cdot f}{2}\)
Wie Raute, aber e halbiert f nicht.
Der große Zusammenhang
Egal wie schräg das Viereck aussieht: Alle Formeln lassen sich auf das einfache Rechteck zurückführen. Durch geschicktes Umformen, Abschneiden oder Anbauen von Dreiecken (wie in den Animationen gezeigt) entsteht immer eine Fläche, die genauso groß ist wie ein entsprechendes Rechteck.