Interaktive Lektion
Lineare Funktionen und Steigung
Wie die Steigung k eine Gerade formt, was der Achsenabschnitt d verschiebt und wie du aus beidem die Funktionsgleichung liest, mit Schiebereglern und Quiz.
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Was die Steigung k bedeutet
Was die Steigung k bedeutet
k ist die Steigung vom Ursprung aus: wie weit nach oben, geteilt durch wie weit nach rechts.
\(f(x) = k \cdot x\)\(k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
Δy ist die Höhe, Δx die Breite. Nach unten wird k negativ.
Zu schnell? Am Regler selbst zurückspulen oder anhalten
Geraden durch den Ursprung
Geraden durch den Ursprung
Wie steil ist die Gerade? Die Steigung k ist vom Ursprung aus: wie weit nach oben, geteilt durch wie weit nach rechts.
\(k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}\)
Jetzt du: zieh am Regler
Δx und Δy ablesen
Δx und Δy ablesen
Geh vom Ursprung aus zum markierten Punkt: wie weit nach rechts, wie weit nach oben?
Nach unten heißt: Δy ist negativ.
Alle sechs richtig, dann geht es weiter
Aufgabe 1 von 6
Aufgabe 2 von 6
Aufgabe 3 von 6
Aufgabe 4 von 6
Aufgabe 5 von 6
Aufgabe 6 von 6
Steigung an beliebigen Punkten
Steigung an beliebigen Punkten
Was passiert mit k, wenn du das Dreieck verschiebst?
Δx nie 0, sonst Division durch 0.
Jetzt du: verschiebe das Dreieck
Steigung ablesen
Steigung ablesen
\(f(x) = \boldsymbol{k} \cdot x\)
Drei Stufen: erst im Einer-Raster, dann mit größeren Maßstäben.
Jetzt du: lies k ab
Aufgabe 1
Lies Δx und Δy zwischen den markierten Punkten ab.
Aufgabe 2
Achtung: Steigt oder fällt die Gerade?
Aufgabe 3
Zwischen den Punkten: wie viele nach rechts, wie viele nach oben?
Aufgabe 4
Die Gerade fällt steil ab, lies die Steigung ab.
Aufgabe 5
Die Gerade steigt flach: wie viele Kästchen nach oben pro Kästchen nach rechts?
Aufgabe 6
Gleich weit nach rechts wie nach unten. Was ergibt das für k?
Aufgabe 7
Neuer Maßstab: ein Kästchen ist jetzt 10. Lies Δx und Δy an den Achsenzahlen ab.
Aufgabe 8
Die beiden Achsen haben verschiedene Maßstäbe. Schau bei Δy genau auf die Zahlen.
Aufgabe 9
Diesmal ist die x-Achse in Zehnern beschriftet. Wie weit ist es wirklich nach rechts?
Aufgabe 10
Ein Kästchen ist hier 50. Und: Steigt oder fällt die Gerade?
Aufgabe 11
x in Einern, y in Fünfzigern. Drei Kästchen nach unten sind hier nicht 3.
Quiz
Quiz
Zum Schluss: Wie gut sitzt die Steigung?
Jetzt du: neun Fragen
Frage 1
Was beschreibt die Steigung \(k\) einer linearen Funktion?
Die Steigung beschreibt, wie steil eine Gerade ist, also das Verhältnis der Änderungen.
Frage 2
Eine Gerade hat die Gleichung \(f(x) = 3x\). Was passiert, wenn \(x\) um 2 zunimmt?
Wenn Δx von 1 auf 2 wächst, verdoppelt sich auch Δy, von 3 auf 6.
Frage 3
Welche Steigung hat eine waagrechte Gerade?
Bei einer waagrechten Geraden ist Δy = 0 für jedes Δx, also k = 0. Egal wie weit man nach rechts geht, es geht nie nach oben.
Frage 4
Eine Gerade fällt von links nach rechts. Was gilt für ihre Steigung?
Wenn x zunimmt und y abnimmt, ist Δy negativ → k = Δy/Δx < 0.
Frage 5
Welche dieser Funktionen hat die steilste Gerade?
Die Steilheit hängt vom Betrag |k| ab, nicht vom Vorzeichen. −3 ist genauso steil wie 3, nur bergab.
Frage 6
\(f(x) = -2x\). Was passiert mit \(y\), wenn \(x\) um 3 zunimmt?
Δy = k · Δx, und ein negatives k heißt: pro Schritt nach rechts geht es nach unten.
Frage 7
Eine Gerade fällt: 3 nach rechts, 1 nach unten. Welche Steigung hat sie?
k = Δy/Δx = Höhe durch Breite. Nach unten heißt: die Höhe ist negativ.
Frage 8
Bei \(f(x) = k \cdot x\) wird \(k\) von 2 auf 4 verdoppelt. Was passiert mit der Geraden?
k dreht die Gerade um den Ursprung: größer heißt steiler, kleiner heißt flacher. Verschieben kann k nicht.
Frage 9
Bei \(f(x) = k \cdot x\) wechselt \(k\) von 2 auf \(-2\). Was ändert sich am Verlauf?
Vorzeichen von k: steigt oder fällt. Betrag von k: wie steil. Beides getrennt betrachten.
Der Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d
Wo schneidet die Gerade die y-Achse? Zieh an d und beobachte die gestrichelte Ausgangsgerade.
\(f(x) = k \cdot x + d\)
k bleibt hier fest. Nur d ändert sich.
Jetzt du: zieh am Regler
k und d zusammen
k und d zusammen
Stell eine Gerade ein, die die y-Achse bei 3 schneidet und nach unten fällt. Lies dann oben links ihre Gleichung ab.
\(f(x) = k \cdot x + d\)
k bestimmt die Neigung, d den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Jetzt du: stell beide Regler
Rechnen und anwenden
Rechnen und anwenden
Zum Abschluss: rechnen statt ablesen.
Jetzt du: zehn Aufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist \(f(x) = 2x + 3\). Berechne \(f(4)\).
Setze 4 für x ein und rechne Punkt vor Strich.
Aufgabe 2
Wieder \(f(x) = 2x + 3\). Für welches \(x\) ist \(f(x) = 13\)?
Diesmal ist das Ergebnis bekannt und x gesucht. Löse die Gleichung 2x + 3 = 13.
Aufgabe 3
Ein Taxi verlangt 4 € Grundgebühr und 2 € pro Kilometer. Welche Funktion beschreibt den Preis \(P\) nach \(x\) Kilometern?
Was fällt einmal an, was bei jedem Kilometer neu? Das eine ist d, das andere k.
Aufgabe 4
Ein Betrieb hat 400 € Fixkosten im Monat, jedes Stück kostet 12 € in der Herstellung. Die Kostenfunktion lautet \(K(x) = 12x + 400\). Was bedeutet die 400?
Setze x = 0 ein. Was bleibt übrig, und was heißt das für den Betrieb?
Aufgabe 5
Eine Kerze ist am Anfang 20 cm hoch und brennt 2 cm pro Stunde ab. Welche Gleichung beschreibt die Höhe \(h\) nach \(t\) Stunden?
Der Startwert ist d. Und wird die Kerze länger oder kürzer? Das entscheidet das Vorzeichen von k.
Aufgabe 6
Gegeben ist \(g(x) = -3x + 5\). Berechne \(g(2)\).
Setze 2 für x ein: −3 · 2 + 5. Das Minus gehört zur 3 und bleibt beim Multiplizieren erhalten.
Aufgabe 7
Die Kerze von vorhin, \(h(t) = 20 - 2t\): Wann ist sie noch 8 cm hoch?
Gesucht ist t, nicht h: 20 − 2t = 8. Wie viel muss abbrennen, und wie lange dauert das bei 2 cm pro Stunde?
Aufgabe 8
Handytarif \(K(t) = 0{,}2 \cdot t + 15\), t in Minuten, K in Euro. Was bedeutet die 0,2?
Was bei jeder Minute dazukommt, ist k. Was schon bei 0 Minuten da ist, ist d.
Aufgabe 9
\(V(t) = 500 - 25t\): Ein Tank mit 500 Litern wird mit 25 Litern pro Minute entleert. Wann ist er leer?
Leer heißt V(t) = 0. Löse 500 − 25t = 0, oder frag dich: wie oft passen 25 Liter in 500?
Aufgabe 10
Eine Gerade geht durch (0|3) und (2|7). Wie lautet ihre Gleichung?
d steht bei x = 0 direkt da. k ist Δy/Δx zwischen den beiden Punkten: wie weit hinauf pro Schritt nach rechts?