Lineare Funktionen

Gegeben ist \(f(x)=k\cdot x\). Verändere die Steigung k mit dem Schieberegler. Die Gerade geht dabei immer durch den Ursprung.

Im Koordinatensystem werden außerdem \(\Delta x\) und \(\Delta y\) als Steigungsdreieck angezeigt.

Merke: \(k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

\(\Delta x\) (Delta x) ... Änderung in x-Richtung (waagrecht)

\(\Delta y\) (Delta y) ... Änderung in y-Richtung (senkrecht)

Beobachtung

  • Ist \(\mathbf{k}>0\), steigt die Gerade an.
  • Ist \(\mathbf{k}<0\), fällt die Gerade ab.
  • Ist \(\mathbf{k}=0\), ist die Gerade waagrecht (konstant).

Steigung an beliebigen Punkten

Verschiebe das Steigungsdreieck entlang der Geraden \(f(x)=0{,}5\cdot x\).

Du siehst: Obwohl sich die beiden Änderungen im Dreieck verändern, bleibt der Quotient \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\) gleich.

Hier gilt immer \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{1}{2}=0{,}5\).

Beobachtung

  • Wenn \(\Delta x\) größer wird, wird auch \(\Delta y\) größer, aber der Quotient \(\tfrac{\color{#0b3a91}{\Delta y}}{\color{#b45309}{\Delta x}}\) bleibt gleich.
  • Verschiebst du den Punkt entlang der Geraden, bleibt die Steigung gleich.
  • Verdoppelst du \(\Delta x\), dann verdoppelt sich auch \(\Delta y\) (bei gleicher Steigung).
  • \(\Delta x\) darf nicht 0 sein, da eine Division durch 0 nicht definiert ist.